Question

14．平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都相等，且∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=60°，则对角面B₁BDD₁是正方形．

Answer 1

分析 根据题意，先判断四边形B₁BDD₁是平行四边行，再判断平行四边形B₁BDD₁是菱形，最后判断菱形B₁BDD₁是正方形．

解答 解：如图所示平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
BB₁∥DD₁，且BB₁=DD₁，
∴四边形B₁BDD₁是平行四边行；
又平行六面体的所有棱长都相等，
且∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=60°，
∴BD=AB=BB₁，
∴平行四边形B₁BDD₁是菱形；
得出直线AA₁在平面ABCD内的射影是AC，
且BD⊥AC，
∴AA₁⊥BD；
又AA₁∥BB₁，
∴BB₁⊥BD，
∴菱形B₁BDD₁是正方形．
故答案为：正方形．

点评 本题主要考查了平行六面体的结构特征的应用问题，也考查了空间中的平行于垂直的应用问题，是基础题目．