Question

1．在△ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosB+（cosA-2sinA）cosC=0．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若$a=\sqrt{5}$，AC边上的中线$BM=\frac{{\sqrt{17}}}{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意和和差角的三角函数公式可得tanC=2，再由同角三角函数基本关系可得；
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b²-4b+3=0，解方程分别由三角形的面积公式可得．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC，∵cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC，
又∵cosB+（cosA-2sinA）cosC=0，
∴sinAsinC-2sinAcosC=0，
∵sinA≠0，∴sinC-2cosC=0，
∴tanC=2，由同角三角函数基本关系可得$cosC=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得BM²=BC²+CM²-2BC•CMcosC，
代入数据可得b²-4b+3=0，解得b=1或b=3，
当b=1时，△ABC的面积$S=\frac{1}{2}absinC=1$；
当b=3时，△ABC的面积$S=\frac{1}{2}absinC=3$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式和分类讨论思想，属中档题．