Question

16．在△ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosB+（cosA-2sinA）cosC=0．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{5}$，AB边上的中线CM=$\sqrt{2}$，求sinB及△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简已知可得sinAsinC-2sinAcosC=0，由sinA≠0，可得tanC=2，利用同角三角函数基本关系式即可求cosC的值．
（Ⅱ）由$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CM}$，两边平方得b²+2b-3=0，解得b，由余弦定理可解得c的值，即可求得sinB，利用三角形面积公式即可求△ABC的面积．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）因为cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC，…（1分）
又已知cosB+（cosA-2sinA）cosC=0，
所以sinAsinC-2sinAcosC=0，…（2分）
因为sinA≠0，所以sinC-2cosC=0，…（3分）
于是tanC=2，…（4分）
所以$cosC=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．…（6分）
（Ⅱ）因为$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CM}$，…（7分）
两边平方得b²+2b-3=0，解得b=1，…（8分）
在△ABC中，由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=4，所以c=2，…（10分）
由此可知△ABC是直角三角形，故$sinB=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，…（11分）
可得：△ABC的面积$S=\frac{1}{2}absinC=1$．…（12分）

点评 此题考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，以及三角形面积公式，平面向量及其运算在解三角形中的应用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于中档题．