Question

（2013•崇明县一模）设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N*，b，c∈R)．
（1）当n=2，b=1，c=-1时，求函数f_n（x）在区间(

1

2

，1)内的零点；
（2）设n≥2，b=1，c=-1，证明：f_n（x）在区间(

1

2

，1)内存在唯一的零点；
（3）设n=2，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f2(x)=x2+x-1，令f₂（x）=0，得到f₂（x）在区间（

1

2

，1）内的零点．
（2）由fn(

1

2

)＜0，f_n（1）＞0．知fn(

1

2

)•f_n（1）＜0．从而得到f_n（x）在(

1

2

，1)内存在零点．利用定义法推导出f_n（x）在(

1

2

，1)内单调递增，由此能够证明f_n（x）在(

1

2

，1)内存在唯一零点．
（3）当n=2时，f₂（x）=x²+bx+c．对任意x₁，x₂∈[-1，1]都有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，等价于f₂（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤4．由此进行分类讨论能求出b的取值范围．

解答：解：（1）f2(x)=x2+x-1，
令f₂（x）=0，得x=

-1± 5

2

，
所以f₂（x）在区间（

1

2

，1）内的零点是x=

-1+ 5

2

．
（2）证明：因为 fn(

1

2

)＜0，f_n（1）＞0．
所以fn(

1

2

)•f_n（1）＜0．
所以f_n（x）在(

1

2

，1)内存在零点．
任取x₁，x₂∈（

1

2

，1），且x₁＜x₂，
则f_n（x₁）-f_n（x₂）=（x1n-x2n）+（x₁-x₂）＜0，
所以f_n（x）在(

1

2

，1)内单调递增，
所以f_n（x）在(

1

2

，1)内存在唯一零点．
（3）当n=2时，f₂（x）=x²+bx+c．
对任意x₁，x₂∈[-1，1]都有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，
等价于f₂（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤4．
据此分类讨论如下：
①当|

b

2

|＞1，即|b|＞2时，M=|f₂（1）-f₂（-1）|=2|b|＞4，与题设矛盾．
②当-1≤-

b

2

＜0，即0＜b≤2时，M=f₂（1）-f₂（-

b

2

）=（

b

2

+1）²≤4恒成立．
③当0≤-

b

2

≤1，即-2≤b≤0时，M=f₂（-1）-f₂（-

b

2

）=（

b

2

-1）²≤4恒成立．
综上可知，-2≤b≤2．

点评：本题考查函数的零点的求法，考查函数有唯一零点的证明，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．