Question

设函数f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅲ）当a＞3时，在区间[-1，0]上是否有实数k使不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x），对任意的x∈R恒成立，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（I）利用导数的几何意义可得切线的斜率f′（2）=-5．再利用点斜式即可得出；
（II）令f′（x）=0，解得x=

a

3

或x=a．列出表格研究函数的大小，即可得出极值；
（III）假设在区间[-1，0]上存在实数k满足题意．由a＞3，得

a

3

＞1，由（Ⅱ）知，f（x）在（-∞，1]上是减函数，当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，k²-cos²x≤1．要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x），x∈R只要k-cosx≤k²-cos²x（x∈R）即cos²x-cosx≤k²-k（x∈R），再利用二次函数与余弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（I）当a=1时，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，得f（2）=-2，
且f′（x）=-3x²+4x-1，∴f′（2）=-5．
∴曲线y=-x（x-1）²在点（2，-2）处的切线方程是y+2=-5（x-2），
整理得5x+y-8=0．
（Ⅱ）解：f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²x，
∴f′（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a）．
令f′（x）=0，解得x=

a

3

或x=a．
由于a＞0，当x变化时，且f′（x）的正负如下表：

x	(-∞， a 3 )	a 3	( a 3 ，a)	a	（a，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-

因此，函数f（x）在x=

a

3

处取得极小值f(

a

3

)，且f(

a

3

)=-

4

27

a3；
函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0．
（Ⅲ）假设在区间[-1，0]上存在实数k满足题意．
由a＞3，得

a

3

＞1，由（Ⅱ）知，f（x）在（-∞，1]上是减函数，
当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，k²-cos²x≤1．
要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x），x∈R
只要k-cosx≤k²-cos²x（x∈R）
即cos²x-cosx≤k²-k（x∈R）①
设g(x)=cos2x-cosx=(cosx-

1

2

)2-

1

4

，则函数g（x）在R上的最大值为2．
要使①式恒成立，必须k²-k≥2，即k≥2或k≤-1．
∴在区间[-1，0]上存在k=-1，使得f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线方程，考查了二次函数与余弦函数的单调性，考查了分类讨论、分离参数的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．