Question

已知向量

m

=（sinx，1），向量

n

=（

3

acosx，

a

2

cos2x），（a＞0）函数f（x）=

m

•

n

的最大值为6．
（1）求a；
（2）将函数f（x）向左平移

π

12

个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的

1

2

，纵坐标不变，得到g（x）的图象．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）化f（x）=

m

•

n

=

3

asinxcosx+

a

2

cos2x=a（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）=asin（2x+

π

6

），从而求a；
（2）由图象变换得到g（x）=6sin（4x+

π

3

），从而求函数的值域．

解答： 解：（1）f（x）=

m

•

n

=

3

asinxcosx+

a

2

cos2x
=a（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=asin（2x+

π

6

），
∵函数f（x）=

m

•

n

的最大值为6．
∴a=6．
（2）f（x）=6sin（2x+

π

6

）

左移 π 12

y=6sin（2（x+

π

12

）+

π

6

）=6sin（2x+

π

3

）

各点的横坐标缩短为原来的 1 2 倍

y=6sin（4x+

π

3

），
则g（x）=6sin（4x+

π

3

），
∵0≤x≤

5π

24

，
∴0≤4x≤

5π

6

，
∴

π

3

≤4x+

π

3

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（4x+

π

3

）≤1，
∴-3≤sin（4x+

π

3

）≤6，
即g（x）在[0，

5π

24

]上的值域为[-3，6]．

点评：本题考查了平面向量的数量积及三角函数的化简与其性质的应用，属于中档题．