Question

如图，圆O为四边形ABCD的外接圆，AB=BD，过点D作圆O的切线交AB延长线于点P，∠PBD的角平分与DC的延长交于点E．
（1）若AB=3，PD=2

7

，求AD的长；
（2）求证：BE²=CE•DE．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（1）由已知得PD²=PB•PA，从而PB=4，由已知得△APD∽△PBD，从而

AD

BD

=

PD

PB

，由此能求出AD．
（2）连结BO，由AB=BD，得BO是∠ABD的平分线，从而得到BE是圆O的切线，由此能证明BE²=CE•DE．

解答： （1）解：∵AB=BD=3，PD=2

7

，过点D作圆O的切线交AB延长线于点P，
∴PD²=PB•PA，即(2

7

)2=PB(PB+3)，
解得PB=4或PB=-7，（舍），
在△APD，△PBD中，
∵∠A=∠BDP，∠P=∠P，
∴△APD∽△PBD，
∴

AD

BD

=

PD

PB

，
∴AD=

PD•BD

PB

=

2 7 ×3

4

=

3 7

2

．
（2）证明：连结BO，∵AB=BD，
∴BO是∠ABD的平分线，
∵∠PBD的角平分与DC的延长交于点E．
∴∠OBE=90°，
∴BE是圆O的切线，
∴BE²=CE•DE．

点评：本题考查线段长的求法，考查等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．