Question

函数y=sin²x-2asinx+1+a²在x=2kπ+

π

2

（k∈z）时取得最大值，在sinx=a时取得最小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：设t=sinx，有y=sin²x-2asinx+1+a²=（sinx-a）²+1=（t-a）²+1，函数在t=a时取得最小值．可得-1≤a≤1．由在x=2kπ+

π

2

（k属于z）时取得最大值，即t=1时取到最大值，可得a＜0．

解答： 解：设t=sinx，
y=sin²x-2asinx+1+a²=（sinx-a）²+1=（t-a）²+1，
这是关于t的二次函数，开口向上，对称轴为x=a．
-1≤t=sinx≤1，
函数在t=a时取得最小值．所以-1≤a≤1．
在x=2kπ+

π

2

（k属于z）时取得最大值，即t=1时取到最大值，
说明x=1比x=-1离对称轴x=a较远，所以a＜0．
综上知：-1≤a＜0．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，函数的性质及应用，属于基本知识的考查．