Question

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a＜-1，如果对任意x₁，x₂∈（0，+∞），当x₁≥x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≥4（x₁-x₂），求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）f′（x）=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

，当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减；当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=

- a+1 2a

，f（x）在（0，

- a+1 2a

）上单调递增，在（

- a+1 2a

，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）x₁≥x₂，而a＜-1，f（x）在（0，+∞）上单调递减，从而?x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|等价于?x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₂）+4x₂≥f（x₁）+4x₁ ，由此能示出a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）
f′（x）=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

，
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=

- a+1 2a

，
则当x∈（0，

- a+1 2a

）时，f′（x）＞0，
x∈（

- a+1 2a

，+∞）时，f′（x）＜0
故f（x）在（0，

- a+1 2a

）上单调递增，在（

- a+1 2a

，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）∵x₁≥x₂，而a＜-1，
∴由（1）知f（x）在（0，+∞）上单调递减，
从而?x₁，x₂∈（0，+∞），
|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|等价于?x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₂）+4x₂≥f（x₁）+4x₁ ①
令g（x）=f（x）+4x，则g′（x）=

a+1

x

+2ax+4
①等价于g（x）在（0，+∞）上单调递减，
即

a+1

x

+2ax+4≤0在（0，+∞）上恒成立
从而a≤

-4x-1

2x2+1

=

(2x-1)2-4x2-2

2x2+1

=

(2x-1)2

2x2+1

-2≥-2．
故a的取值范围为（-∞，-2]．

点评：本题考查函数的单调性的讨论，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．