Question

2．如图所示，正三角形ABC的外接圆半径为2，圆心为O，PB=PC=2，D为AP上一点，AD=2DP，点D在平面ABC内的射影为圆心O．
（Ⅰ）求证：DO∥平面PBC；
（Ⅱ）求平面CBD和平面OBD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AOL，并延长交BC于点E，连结PE，推导出DO∥PE，由此能证明DO∥平面PBC．
（Ⅱ）以点E为坐标原点，以EO、EB、EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面CBD和平面OBD所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连结AO，并延长交BC于点E，连结PE，
∵O为正三角形ABC的外接圆圆心，
∴AO=2OE，
又AD=2DP，∴DO∥PE，
∵PE?平面PBC，DO?平面PBC，
∴DO∥平面PBC．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DO⊥平面ABC，
∵DO∥PE，∴PE⊥平面ABC，
∴PE⊥BC，PE⊥AE，又AE⊥BC，
∴以点E为坐标原点，以EO、EB、EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，
则E（0，0，0），O（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1），A（3，0，0），
∴$\overrightarrow{EB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AP}$=（-3，0，1），$\overrightarrow{AD}$=（-2，0，$\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{ED}$=$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD}$=（1，0，$\frac{2}{3}$），
∴D（1，0，$\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{OD}$=（0，0，$\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{BO}$=（1，-$\sqrt{3}$，0），
设平面CDB的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=x+\frac{2}{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{2}{3}$，0，1），
设平面BOD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BO}=a-\sqrt{3}b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OD}=\frac{2}{3}c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\frac{2}{3}}{\sqrt{\frac{4}{9}+1}•\sqrt{1+\frac{1}{3}}}$=-$\frac{\sqrt{39}}{13}$，
∴平面CBD和平面OBD所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{39}}{13}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．