Question

11．已知函数f（x）=2x³+3ax²-12bx+3在x=-2和x=1处有极值．
（1）求出f（x）的解析式；
（2）指出f（x）的单调区间；
（3）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据极值的定义得出关于a，b的不等式组，解方程组得出a，b，可得f（x）的解析式；
（2）由f′（x）＞0得单调递增区间，f′（x）＜0得单调递减区间；
（3）分别求得函数在[-3，2]的极值和端点值，得出最大值及最小值．

解答 解：（1）f'（x）=6x²+6ax-12b，
又因为函数y=f（x）在x=-2和x=1处有极值，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{f′（-2）=0}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
所以f（x）=2x³+3x²-12x+3；
（2）f'（x）=6（x+2）（x-1）
由f'（x）＞0，得x＜-2或x＞1，f'（x）＜0，得-2＜x＜1
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-2），（1，+∞），递减区间为（-2，1）；
（3）令f'（x）=0，得x=-2或x=1，f（-2）=23，f（1）=-4，f（-3）=12，f（2）=7，
所以f（x）的最大值为f（-2）=23，最小值为f（1）=-4．

点评 本题考查函数导数与单调性，考查学生运用所学知识分析解决问题的能力，属中档题．