Question

【题目】已知椭圆C：和点.

（1）求椭圆C的焦点坐标和离心率；

（2）设直线l：与椭圆C交于A，B两点，求弦长；

（3）求通过M点且被这点平分的弦所在的直线方程.

Answer 1

【答案】（1）和，；（2） ；（3）.

【解析】

（1）将椭圆的一般方程化为标准方程，即可求得焦点坐标和离心率；

（2）将直线方程与椭圆方程联立，求得两个交点坐标，结合两点间距离公式即可求得弦长；

（3）设、，代入椭圆方程并作差，结合中点坐标公式及直线的斜率公式即可确定直线方程.

（1）由得，

，，，

∴焦点坐标是和；离心率.

（2）联立方程组，

消y得，得，或，

则A，B两点坐标分别为和，

弦长.

（3）显然直线不与x轴垂直，可设此直线方程为，

设交点分别为、，则，

，

又，

，，

，

直线方程为 即.