Question

如图，已知⊙O：x²+y²=1和定点A（2，2），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，Q为切点，且满足|PQ|=|PA|．
（Ⅰ） 求实数a，b之间满足的关系式；
（Ⅱ） 求线段PQ的最小值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（I）连结OP，根据圆的切线的性质得|PQ|²+|QO|²=|OP|²，即a²+b²-1=（a-2）²+（b-1）²，化简得实数a，b间满足的等量关系；
（II）当PO⊥l时，PO的长度最小，从而可得线段PQ长的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）连接OP，∵PQ²=PO²-1=PA²，…（2分）
∴a²+b²-1=（a-2）²+（b-2）²，即4a+4b-9=0．…（6分）
（Ⅱ）设l：4x+4y-9=0，
∵PQ²=PO²-1，∴PQ=

OP2-1

∴当PO⊥l时，PO的长度最小，即（OP）_min=

|4×0+4×0-9|

4 2

=

9 2

8

，
∴(PQ)min=

OP2-1

=

9 2

8

．…（11分）

点评：本题给出单位圆和其外部一个定点A，求切线PQ满足|PQ|=|PA|时，实数a，b间满足的等量关系，并求线段长的最小值．着重考查了直线与圆的位置关系、圆的方程等知识，属于中档题．