Question

【题目】下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra做出来的图片，其中四边形ABCD.AEFG.PQBE都是正方形.如果改变图（i）中的大小会得到更多不同的“树形”.

（1）在图（i）中，，，且，求AQ；

（2）在图（ii）中，，，设，求AQ的最大值

Answer 1

【答案】（1）；（2）AQ的最大值为.

【解析】

（1）先在中利用勾股定理求出的长，由于，所以，然后在中，利用余弦定理可求出AQ的长；

（2）在中，先利用余弦定理表示出，再利用正弦定理表示出，然后在中利用余弦定理得，从而可求出其最大值；或者如图，过A作BE垂线交BE于M，交PQ于N，则，，再在 中利用勾股定理表示出，从而可求出其最大值.

解：（1）当时，，

则

在中，

∴.

（2）法（一）

在中，，

∴

在中，

在中，

∴时，.

法（二）

过A作BE垂线交BE于M，交PQ于N.

同法（—）

∵

∴

∴

∴

∴

下同法（一）

答：（1）；（2）AQ的最大值为.