【题目】设函数f(x)=lnx﹣ax+ ﹣1. (Ⅰ)当a=1时,求曲线f(x)在x=1处的切线方程;
(Ⅱ)当a= 时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设函数g(x)=x2﹣2bx﹣ ,若对于x1∈[1,2],x2∈[0,1],使f(x1)≥g(x2)成立,求实数b的取值范围.
【答案】解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),
(Ⅰ)当a=1时,f(x)=lnx﹣x﹣1,∴f(1)=﹣2, ,
∴f′(1)=0,∴f(x)在x=1处的切线方程为y=﹣2
(Ⅱ) =
令f′(x)<0,可得0<x<1,或x>2;令f'(x)>0,可得1<x<2
故当 时,函数f(x)的单调递增区间为(1,2);单调递减区间为(0,1),(2,+∞).
(Ⅲ)当 时,由(Ⅱ)可知函数f(x)在(1,2)上为增函数,
∴函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)=
若对于x1∈[1,2],x2∈[0,1]使f(x1)≥g(x2)成立,等价于g(x)在[0,1]上的最小值不大于f(x)在(0,e]上的最小值 (*)
又 ,x∈[0,1]
①当b<0时,g(x)在[0,1]上为增函数, 与(*)矛盾
②当0≤b≤1时, ,由
及0≤b≤1得,
③当b>1时,g(x)在[0,1]上为减函数, ,
此时b>1
综上,b的取值范围是
【解析】确定函数f(x)的定义域,并求导函数(Ⅰ)当a=1时,f(x)=lnx﹣x﹣1,求出f(1)=﹣2,f′(1)=0,即可得到f(x)在x=1处的切线方程;(Ⅱ)求导函数,令f'(x)<0,可得函数f(x)的单调递减区间;令f'(x)>0,可得函数f(x)的单调递增区间;(Ⅲ)当 时,求得函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)=
;对于x1∈[1,2],x2∈[0,1]使f(x1)≥g(x2)成立,等价于g(x)在[0,1]上的最小值不大于f(x)在(0,e]上的最小值,求出
,x∈[0,1]的最小值,即可求得b的取值范围.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
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【题目】△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0),B(3,0),C(3,4),则△ABC的外接圆方程是( )
A.(x-2)2+(y-2)2=20
B.(x-2)2+(y-2)2=10
C.(x-2)2+(y-2)2=5
D.(x-2)2+(y-2)2=
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【题目】已知函数 ,
.
在
上有最大值9,最小值4.
(1)求实数 的值;
(2)若不等式 在
上恒成立,求实数
的取值范围;
(3)若方程 有三个不同的实数根,求实数
的取值范围.
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【题目】在直角坐标系中,直线l的参数方程为 t为参数).若以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为
. (Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)求直线l被曲线C所截得的弦长.
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【题目】一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率.
(Ⅱ)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
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【题目】一个地区共有5个乡镇,共30万人,其人口比例为3∶2∶5∶2∶3,从这30万人中抽取一个300人的样本,分析某种疾病的发病率.已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,则应采取什么样的抽样方法?并写出具体过程.
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【题目】一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3 cm,高为4 cm,圆锥的高为3 cm,画出此几何体的直观图.
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【题目】双曲线 ﹣
=1(a>0,b>0)上任意一点P可向圆x2+y2=(
)2作切线PA,PB,若存在点P使得
=0,则双曲线的离心率的取值范围是( )
A.[ ,+∞)
B.(1, ]
C.[ ,
)
D.(1, )
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