Question

【题目】设函数f（x）=lnx﹣ax+ ﹣1． （Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当a= 时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣ ，若对于x1∈[1，2]，x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，∴f（1）=﹣2， ，

∴f′（1）=0，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2

（Ⅱ） =

令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2

故当 时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）．

（Ⅲ）当 时，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（1，2）上为增函数，

∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=

若对于x1∈[1，2]，x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值 （*）

又 ，x∈[0，1]

①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数， 与（*）矛盾

②当0≤b≤1时， ，由 及0≤b≤1得，

③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数， ，

此时b＞1

综上，b的取值范围是

【解析】确定函数f（x）的定义域，并求导函数（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，求出f（1）=﹣2，f′（1）=0，即可得到f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求导函数，令f'（x）＜0，可得函数f（x）的单调递减区间；令f'（x）＞0，可得函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当 时，求得函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）= ；对于x1∈[1，2]，x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值，求出 ，x∈[0，1]的最小值，即可求得b的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．