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    已知G点是△ABC的重心，
    AG
    ⊥
    BG
    ，
    1
    tanA
    +
    1
    tanB
    =
    2λ
    tanC
    ，则λ的值为（　　）
    A、1
    B、
    1
    4
    C、
    2
    5
    D、
    2
    7
    考点：两角和与差的正切函数
    专题：解三角形,平面向量及应用
    分析：如图，由于G为重心，利用重心性质定理可得：
    AG
    =
    1
    3
    (
    AB
    +
    AC
    )    ，
    BG
    =
    1
    3
    (
    BA
    +
    BC
    )    =
    1
    3
    (-
    AB
    +
    AC
    -
    AB
    )
    =
    1
    3
    (
    AC
    -2
    AB
    )    ．由于
    AG
    ⊥
    BG
    ，
    AG
    •
    BG
    =0，化为a2+b2=5c2．根据
    1
    tanA
    +
    1
    tanB
    =
    2λ
    tanC
    ，可得λ=
    sin2C
    2sinAsinBcosC
    =
    c2
    2abcosC
    ，再利用余弦定理代入即可得出．
    解答： 解：如图，∵G为重心，
    ∴
    AG
    =
    1
    3
    (
    AB
    +
    AC
    )    ，
    BG
    =
    1
    3
    (
    BA
    +
    BC
    )    =
    1
    3
    (-
    AB
    +
    AC
    -
    AB
    )
    =
    1
    3
    (
    AC
    -2
    AB
    )    ．
    ∵
    AG
    ⊥
    BG
    ，
    ∴
    AG
    •
    BG
    =
    1
    9
    (
    AC
    2    -2
    AB
    2    -
    AB
    •
    AC
    )    =0，
    ∴b2-2c2-bccosA=0，
    ∴b2-2c2-
    b2+c2-a2
    2
    =0，
    化为a2+b2=5c2．
    又∵
    1
    tanA
    +
    1
    tanB
    =
    2λ
    tanC
    ，
    ∴
    cosA
    sinA
    +
    cosB
    sinB
    =
    sin(A+B)
    sinAsinB
    =
    2λcosC
    sinC
    ，
    即λ=
    sin2C
    2sinAsinBcosC
    =
    c2
    2abcosC
    =
    c2
    a2+b2-c2
    =
    1
    4
    ．
    故选：B．
    点评：本题考查了三角形的重心性质定理、正弦定理、余弦定理、两角和差的正弦公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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    x2
    4
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    		2
    x2sinθ≥0对一切x∈[0，1]恒成立，则θ的取值范围是（　　）
    A、[kπ+
    π
    8
    ，kπ+
    3π
    8
    ]（k∈Z）
    B、[2kπ+
    π
    8
    ，2kπ+
    3π
    8
    ]（k∈Z）
    C、[kπ+
    π
    12
    ，kπ+
    5π
    12
    ]（k∈Z）
    D、[2kπ+
    π
    12
    ，2kπ+
    5π
    12
    ]（k∈Z）

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    双曲线
    x2
    4
    -
    y2
    k
    =1的离心率e∈（1，2），则实数k的取值范围是（　　）
    A、（0，4）
    B、（1，1）
    C、（0，2
    		3
    ）
    D、（0，12）

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