Question

【题目】已知圆C：x2+y2﹣2x+4my+4m2=0，圆C1：x2+y2=25，以及直线l：3x﹣4y﹣15=0．
（1）求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；
（2）当m为何值时，圆C与圆C1的公共弦平行于直线l；
（3）是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P（2，0）距离等于弦AB长度的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）因为圆的圆心O（0，0），半径r=5，
所以，圆心O到直线l：3x﹣4y﹣15=0的距离d：，由勾股定理可知，
圆被直线l截得的弦长为．
（2）圆C与圆C1的公共弦方程为2x﹣4my﹣4m2﹣25=0，
因为该公共弦平行于直线3x﹣4y﹣15=0，
则≠，
解得：m=
经检验m=符合题意，故所求m=；
（3）假设这样实数m存在．
设弦AB中点为M，由已知得|AB|=2|PM|，即|AM|=|BM|=|PM|
所以点P（2，0）在以弦AB为直径的圆上．
设以弦AB为直径的圆方程为：x2+y2﹣2x+4my+4m2+λ（3x﹣4y﹣15）=0，
则
消去λ得：100m2﹣144m+216=0，25m2﹣36m+54=0
因为△=362﹣4×25×54=36（36﹣25×6）＜0
所以方程25m2﹣36m+54=0无实数根，
所以，假设不成立，即这样的圆不存在．
【解析】（1）根据直线和圆相交的弦长公式即可求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；
（2）求出两圆的公共弦结合直线平行的条件即可求出直线l；
（3）根据两点间的距离公式结合弦长关系即可得到结论．