Question

16．如图，在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=90°，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，将△PAB沿AB折起，使平面PAB⊥平面ABCD．
（1）证明：平面PBD⊥平面PAC；
（2）若点E在DC的延长线上且满足$\overrightarrow{DE}$=λ$\overrightarrow{DC}$（λ＞0），当λ为何值时，二面角P-BE-A的大小为60°．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥BD，BD⊥PA，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面PBD⊥平面PAC．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当λ为1+$\sqrt{2}$时，二面角P-BE-A的大小为60°．

解答 证明：（1）∵在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=90°，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
将△PAB沿AB折起，使平面PAB⊥平面ABCD，
∴PA⊥平面ABCD，
∴BD⊥PA，
∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
D（0，2，0），C（2，2，0），B（2，0，0），P（0，0，2），设E（a，b，0），
∵$\overrightarrow{DE}$=λ$\overrightarrow{DC}$（λ＞0），
∴（a，b-2，0）=λ（2，0，0），解得a=2λ，b=2，
∴E（2λ，2，0），
$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{PE}$=（2λ，2，-2），
设平面PBE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2x-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=2λx+2y-2z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1-λ，1），
平面BEA的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵二面角P-BE-A的大小为60°，
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+（1-λ）^{2}+1}}$，
解得$λ=1+\sqrt{2}$，或$λ=1-\sqrt{2}$（舍）．
∴λ为1+$\sqrt{2}$时，二面角P-BE-A的大小为60°．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查满足二面角为60°的点的位置的确定，是中档题，解题时要认真题，注意向量法的合理运用．