Question

11．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，侧面PAD为等边三角形且平面PAD⊥底面ABCD，E、F分别为CD、PB的中点．
（1）求证：EF⊥PA；
（2）求二面角P-BE-A的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD中点O，连结PO、BO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EF⊥PA．
（2）求出平面PBE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能求出二面角P-BE-A的正弦值．

解答 证明：（1）取AD中点O，连结PO、BO，
∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，侧面PAD为等边三角形且平面PAD⊥底面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，AD⊥BO，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=2，则P（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$，0），F（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），A（1，0，0），E（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{PA}$=$\frac{3}{2}+0-\frac{3}{2}$=0，
∴EF⊥PA．
解：（2）$\overrightarrow{PB}$=（0，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PE}$=（-$\frac{3}{2}$，$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\sqrt{3}$），
设平面PBE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=-\frac{3}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，1，1），
平面ABE的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角P-BE-A的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，sinθ=$\sqrt{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角P-BE-A的正弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．