Question

5．四棱锥P-ABCD中，底面是边长为6的菱形，且∠BAD=60°，PD⊥平面ABCD，PD=8．
（1）求证：PB⊥AC；
（2）E为PB中点，求AE与平面PBD所成的角；
（3）求点D到平面PAC的距离．

Answer 1

分析 （1）连接AC，BD，则AC⊥BD．证明AC⊥平面PBD，即可证明PB⊥AC；
（2）设AC，BD交于O，由（1）可知AO⊥平面PBD，∠AEO是AE与平面PBD所成的角；
（3）利用等体积求点D到平面PAC的距离．

解答 （1）证明：连接AC，BD，则AC⊥BD．
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PBD，
∵PB?平面PBD，
∴PB⊥AC；
（2）解：设AC，BD交于O，由（1）可知AO⊥平面PBD，
∴∠AEO是AE与平面PBD所成的角，
∵底面是边长为6的菱形，且∠BAD=60°，
∴AO=3$\sqrt{3}$，
∵PD=8，E为PB中点，
∴OE=4，
∴tan∠AEO=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴AE与平面PBD所成的角为arctan$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
（3）解：连接PO，由（2）可知，PO=$\sqrt{64+9}$=$\sqrt{73}$，AC=6$\sqrt{3}$，
∴S_△PAC=$\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×\sqrt{73}$=3$\sqrt{219}$，
设点D到平面PAC的距离为h，则由等体积可得$\frac{1}{3}×3\sqrt{219}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×6×6×\frac{\sqrt{3}}{2}×8$，
∴h=$\frac{24\sqrt{73}}{73}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查体积的计算，属于中档题．