Question

14．已知在直角坐标系xOy中，直线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{6}}\\{y=-\sqrt{3}+tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t为参数）；以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂的极坐标方程为ρ=4cosθ
（I）写出C₁和C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P在曲线C₂上，且点P到直线C₁的距离为1，求点P的直角坐标．

Answer 1

分析 （I）直线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{6}}\\{y=-\sqrt{3}+tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程；曲线C₂的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．
（II）圆心（2，0）到直线的距离d=1，因此经过圆心与直线C₁平行的直线与圆的两个交点满足条件，另外与直线C₁平行与圆相切的其中与直线C₁在圆心同一侧的切线满足条件．分别求出直角坐标方程，联立解出即可得出．

解答 解：（I）直线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{6}}\\{y=-\sqrt{3}+tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t为参数），
消去参数t可得x-$\sqrt{3}$y-4=0．
曲线C₂的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，
化为直角坐标方程：x²+y²=4x，配方为（x-2）²+y²=4．
（II）圆心（2，0）到直线的距离d=$\frac{|2-4|}{2}$=1，
因此经过圆心与直线C₁平行的直线与圆的两个交点满足条件，
另外与直线C₁平行与圆相切的其中与直线C₁在圆心同一侧的切线满足条件．
经过圆心与直线C₁平行的直线方程为：y=$\frac{1}{\sqrt{3}}$（x-2），
满足条件的切线方程为：x-$\sqrt{3}$y-6=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}y-2=0}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+2}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\sqrt{3}}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
可得直角坐标：P$（2+\sqrt{3}，1）$，$（2-\sqrt{3}，-1）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}y-6=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
可得直角坐标P$（3，-\sqrt{3}）$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆相交，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．