Question

7．讨论函数f（x）=$\frac{ax+1}{x+2}$（a≠$\frac{1}{2}$）在（-2，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 先将f（x）变成：f（x）=a+$\frac{1-2a}{x+2}$，根据单调性的定义，设x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，通过作差并讨论a的取值即可判断f（x₁），f（x₂）的大小，从而判断f（x）在（-2，+∞）上的单调性

解答 解：f（x）=$\frac{a（x+2）+1-2a}{x+2}$=a+$\frac{1-2a}{x+2}$；
设x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂；
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1-2a}{{x}_{1}+2}$-$\frac{1-2a}{{x}_{2}+2}$=$\frac{（1-2a）{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}+2）{（x}_{2}+2）}$；
∵x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂；
∴（x₁+2）（x₂+2）＞0，x₂-x₁＞0；
∴若1-2a＜0，即a＞$\frac{1}{2}$时，f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（-2，+∞）上单调递增；
若1-2a＞0，即a＜$\frac{1}{2}$时，f（x₁）＞f（x₂），∴此时f（x）在（-2，+∞）上单调递减．

点评 考查分离常数法化简f（x），以及函数的单调性定义，根据函数单调性定义讨论f（x）单调性的过程．