Question

已知函数f（x）=

1

2

[3ln（x+2）-ln（x-2）]
（I） 求x为何值时，f（x）在[3，7]上取得最大值；
（Ⅱ）设F（x）=aln（x-1）-f（x），若F（x）是单调递增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求出函数的定义域，然后对函数进行求导运算，令导函数等于0求出x的值，再判断函数的单调性，进而可求出最大值．
（Ⅱ）对函数f（x）进行求导，然后令导函数大于等于0在R上恒成立即可求出a的范围

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

1

2

[

3

x+2

-

1

x-2

]=

x-4

x2-4

∴当2＜x＜4时，f′（x）＜0，当x＞4时，f′（x）＞0
∴f（x）在（2，4）上是减函数，在（4，+∞）上是增函数
∴f（x）在[3，7]上的最大值应在端点处取得，又f（3）-f（7）=

1

2

[3ln5-ln1]-

1

2

[ln625-ln729]＜0，
∴f（3）＜f（7）即当x=7时，f（x）取得在[3，7]上的最大值
（Ⅱ）∵F（x）是单调递增函数，∴F′（x）≥0恒成立
又F′（x）=

a

x-1

-

x-4

x2-4

=

(a-1)x2+5x-4(a+1)

(x-1)(x2-4)

在f（x）的定义域（2，+∞）上，有（x-1）（x²-4）＞0恒成立．
∴F′（x）≥0?（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．…（10分）
下面分情况讨论（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立时，a的解的情况．
当a-1＜0时，显然不可能有（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
当a-1=0时（a-1）x²+5x-4（a+1）=5x-8＞0在（2，+∞）上恒成立．
当a-1＞0时，又有两种情况：①5²+16（a-1）（a+1）≤0；
②-

5

2(a-1)

≤2且（a-1）-2²+5×2-4（a+1）≥0
由①得16a²+9≤0，无解；由②得a≥-

1

4

，a-1＞0，∴a＞1
综上所述各种情况，当a≥1时（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
∴所求的a的取值范围为[1，+∞）．

点评：本题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力，考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减