Question

【题目】已知函数f（x）=log ．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=log ．

定义域需满足： ，即﹣x2+2x+8＞0

解得：﹣2＜x＜4

∴f（x）的定义域为{x|﹣2＜x＜4}

（2）解：设u=﹣x2+2x+8，对数的底数小于1，根据性质可知，函数f（x）= 是减函数，

函数u=﹣x2+2x+8=﹣（x+1）2+9，t=

∴0＜u≤9

∴0＜t≤3，

∵f（x）= 在（0，+∞）减函数，

∴f（x）的值域是[ ，+∞）

【解析】（1）由真数大于零即不等式即可得到函数的定义域。（2）利用复合函数的性质结合二次函数的最值情况即可得出函数的值域。
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的定义域及其求法的相关知识，掌握求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零，以及对函数的值域的理解，了解求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．