Question

【题目】已知抛物线 ，焦点到准线的距离为4，过点 的直线交抛物线于 两点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）如果点 恰是线段 的中点，求直线 的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题设可知 ，所以抛物线方程为

（Ⅱ）方法一：设 ，则

又 ，相减整理得

所以直线 的方程是 ，即 .

方法二：由题设可知直线 的斜率存在，

设直线 的方程为 ， ，

由 ，消去 ，得 ，

易知 ， ，

又 所以 ，

所以直线 的方程是 ，即 .

【解析】（I）根据抛物线的定义可得；
（II）方法一：应用点差法可得直线AB的斜率，根据直线的点斜式可求直线AB的方程;
方法二：根据点斜式设出直线AB的方程，联立直线与抛物线的方程，得到关于y的一元二次方程，根据中点公式可得斜率k,即可。