Question

【题目】在圆 上任取一点 ，点 在 轴的正射影为点 ，当点 在圆上运动时，动点 满足 ，动点 形成的轨迹为曲线 ．
（Ⅰ）求曲线 的方程；
（Ⅱ）点 在曲线 上，过点 的直线 交曲线 于 两点，设直线 斜率为 ，直线 斜率为 ，求证： 为定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设点 坐标为 ， 点 的坐标为 ，则 ，

因为点 在圆 ，所以 ①

把 ， 代入方程①，得 ，

所以曲线 的方程为 ．

（Ⅱ）方法一：由题意知直线 斜率不为0，设直线 方程为 ，

由 消去 ，得 ，

易知 ，得

．所以 为定值

方法二：（ⅰ）当直线 斜率不存在时，

所以

（ⅱ）当直线 斜率存在时，设直线 方程为 ，

由 消去 ，得 ，

易知 ，

．所以 为定值

【解析】(I)用代入法求点的轨迹方程，设点 M 坐标为 ( x , y ) ， 点 P 的坐标为 ( , ),找到x,y与的关系即可。
（II）此题结合直线与椭圆的位置关系，考察定值问题；因此设出直线的方程，联立，利用韦达定理得到点B、D的坐标的关系，再利用直线的斜率的坐标公式表示出即可。
【考点精析】解答此题的关键在于理解斜率的计算公式的相关知识，掌握给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式: k=y2-y1/x2-x1，以及对椭圆的标准方程的理解，了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．