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    【题目】如图所示, 是圆柱的母线, 是圆柱底面圆的直径, 是底面圆周上异于的任意一点, .

    (1)求证: ；

    (2)求三棱锥体积的最大值,并写出此时三棱锥外接球的表面积.

    【答案】(1)见解析；(2) .

    【解析】试题分析：（1）由圆柱易知平面，所以，由圆的性质易得，进而可证平面；

    （2）由已知得三棱锥的高,当直角的面积最大时,三棱锥的体积最大,当点在弧中点时最大, 此时外接球的直径即可得解.

    试题解析：

    (1)证明:∵已知是圆柱的母线,.∴平面

    ∵是圆柱底面圆的直径, 是底面圆周上异于的任意一点,

    ∴,又,∴平面

    又平面

    (2)解:由已知得三棱锥的高,当直角的面积最大时,

    三棱锥的体积最大,当点在弧中点时最大,

    ,

    结合(1)可得三棱锥的外接球的直径即为,

    所以此时外接球的直径.

    .

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