Question

【题目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2 ，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥平面ABB1A1 ．

（1）证明：CD⊥AB1；
（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵D是矩形AA1的中点，∴AD= AA1=

∴ = ，∴△DAB∽△ABB1，∴∠ABD=∠AB1B，

∵∠BAB1+∠AB1B=90°，∴∠BAB1+∠ABD=90°，∴BD⊥AB1．

∵CO⊥平面ABB1A1，AB1平面ABB1A1，

∴CO⊥AB1，又CO平面BCD，BD平面BCD，CO∩BD=O，

∴AB1⊥平面BCD，∵CD平面BCD，

∴CD⊥AB1

（2）解：以O为原点，以OD，OB1，OC为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：

则A（0，﹣ ，0），B（﹣ ，0，0），C（0，0， ），D（ ，0，0）．

∴ =（ ，0，﹣ ）， =（﹣ ， ，0）， =（0， ， ）．

设平面ABC的法向量为 =（x，y，z），则 ，

即 ，令x=1得 =（1， ，﹣ ）．

∴ = ，∴cos＜ ＞= = ．

∴直线CD与平面ABC所成角的正弦值为 ．

【解析】（1）根据线面垂直的性质定理得到线线垂直，再由线线垂直得到线面垂直进而得到线线垂直。（2）根据题意建立空间直角坐标系如图所示，求出各个点的坐标进而得到各个向量的坐标，找到平面ABC的法向量继而求出其与向量AD的数量积再根据数量积公式求出cos的值，进而可得直线CD与平面ABC所成角的正弦值。
【考点精析】通过灵活运用棱柱的结构特征和空间角的异面直线所成的角，掌握两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则即可以解答此题．