Question

若椭圆C₁：

x2

a12

+

y2

b12

=1（a₁＞b₁＞0）和椭圆C₂：

x2

a22

+

y2

b22

=1（a₂＞b₂＞0）的离心率相同，且a₁＞a₂，给出如下四个结论：
①椭圆C₁和椭圆C₂一定没有公共点；②

a1

a2

=

b1

b2

；③a₁²-a₂²＜b₁²-b₂²；④a₁-a₂＜b₁-b₂
则所有结论正确的序号是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先根据离心率相等可以进行恒等变换得到：②成立，同时得到a12-b12=a22-b22③不成立，①成立，最后利用（a₁+b₁）（a₁-b₁）=（a₂+b₂）（a₂-b₂）得到④成立．

解答： 解：椭圆C₁：

x2

a12

+

y2

b12

=1（a₁＞b₁＞0）和椭圆C₂：

x2

a22

+

y2

b22

=1（a₂＞b₂＞0）的离心率相同，
所以：a12-b12=a22-b22，
进一步转化为：a12-a22=b12-b22，
由于a₁＞a₂所以b₁＞b₂，
所以：①成立，

c1

a1

=

c2

a2

，
经过变换和合比性质得到：

a1

a2

=

b1

b2

，
所以：②成立．
a12-b12=a22-b22，所以：（a₁+b₁）（a₁-b₁）=（a₂+b₂）（a₂-b₂），
进一步得到：a₁-a₂＜b₁-b₂，故④成立．
故答案为：①②④．

点评：本题考查的知识点：椭圆的性质的应用，不等式的应用，合比性质的应用，属于基础题型．