Question

15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求此函数在R上的解析式；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t+1）+f（m-2t²）＜0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）是定义在R上的奇函数⇒f（-0）=-f（0），从而可得f（0）的值；
（Ⅱ）设x＜0，则-x＞0，利用x＞0时，f（x）=x²+2x及f（x）=-f（-x），可求得此时f（x）的表达式，从而可得此函数在R上的解析；
（Ⅲ）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，利用定义法可判断函数f（x）在R上单调递增，再将不等式f（t+1）+f（m-2t²）＜0恒成立转化为f（t+1）＜-f（m-2t²）=f（2t²-m）恒成立，分离参数m，利用恒成立思想可求实数m的取值范围．

解答 （本题12分）
解：（Ⅰ）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（-0）=-f（0），f（0）=0
（Ⅱ）设x＜0，则-x＞0，∴f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x，
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-x²+2x，
∴$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+2x\;\;\;（x＞0）}\\{0\;（x=0）}\\{-{x^2}+2x\;\;（x＜0）}\end{array}}\right.$．
（Ⅲ）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{x_1}^2+2{x_1}）-（{x_2}^2+2{x^2}）=（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}+2）$，
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，∴x₁+x₂+2＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
同理可证：函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，又f（0）=0，
∴函数f（x）在R上单调递增．
∵对任意的t∈R，不等式f（t+1）+f（m-2t²）＜0恒成立，
即f（t+1）＜-f（m-2t²）=f（2t²-m）恒成立，
∴t+1＜2t²-m，即$m＜2{t^2}-t-1=2{（t-\frac{1}{2}）^2}-\frac{3}{2}$恒成立，
∴$m＜-\frac{3}{2}$，
所以，实数m的取值范围为$（-∞，\;-\frac{3}{2}）$．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查函数解析式的求解及常用方法，突出考查利用函数单调性的定义判断函数的单调性，考查等价转化思想与运算求解能力，属于难题．