Question

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为

1

2

，一个焦点和抛物线y²=-4x的焦点重合，过直线l：x=4上一点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A，B．
（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ）判断直线AB是否恒过定点C；若是，求定点C的坐标．若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，抛物线y²=-4x的焦点是（-1，0），从而得到c=1，再由

c

a

=

1

2

能求出椭圆Ω的方程．
（Ⅱ）设切点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l上一点M的坐标（4，t），则切线方程分别为

x1x

4

+

y1y

3

=1，

x2x

4

+

y2y

3

=1，由此推导出直线AB的方程是x+

t

3

y=1，由此能够推导出直线恒过定点C（1，0）．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
抛物线y²=-4x的焦点是（-1，0），故c=1，
又∵

c

a

=

1

2

，∴a=2，b=

a2-c2

=

3

，
∴所求的椭圆Ω的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设切点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l上一点M的坐标（4，t），
则切线方程分别为

x1x

4

+

y1y

3

=1，

x2x

4

+

y2y

3

=1，
∵两切线均过M，即x1+

t

3

y1=1，x2+

t

3

y2=1，
即点A，B的坐标都适合方程x+

t

3

y=1，
而两点之间确定的唯一的一条直线，
∴直线AB的方程是x+

t

3

y=1，
对任意实数t，点（1，0）都适合这个方程，
故直线恒过定点C（1，0）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线恒过定点的证明，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．