【题目】设,
,
,
,
是5个正实数(可以相等).
证明:一定存在4个互不相同的下标,
,
,
,使得
.
【答案】证明见解析.
【解析】试题分析:可设,则
,
,
,
,
都属于区间
,由抽屉原理知,区间
或
中一定有一个区间至少包含其中的3个数,5个分数的分子、分母的下标特征知,围成的圆圈中,任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同.
、
对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求.因此,结论成立.
试题解析:不妨设,考虑以下5个分数:
,
,
,
,
,①
它们都属于区间.
把区间分成两个区间:
和
,由抽屉原理知,区间
或
中一定有一个区间至少包含①中的3个数(记这3个数依次为
,
,
).
将①中的5个数依次围成一个圆圈,则①中任意三个数中都有两个数是相邻的(与
是相邻的),即
,
,
中至少有两个数是相邻的.假设
与
相邻,则
.
另一方面,由①中5个分数的分子、分母的下标特征知,围成的圆圈中,任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同.
于是, 、
对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求.因此,结论成立.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】《中国谜语大会》是中央电视台科教频道的一档集文化、益智、娱乐为一体的大型电视竞猜节目,目的是为弘扬中国传统文化、丰富群众文化生活.为选拔选手参加“中国谜语大会”,某地区举行了一次“谜语大赛”活动.为了了解本次竞赛选手的成绩情况,从中抽取了部分选手的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本进行统计.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出得分在[50,60),[90,100)的数据).
(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x,y的值;
(2)分数在[80,90)的学生中,男生有2人,现从该组抽取三人“座谈”,求至少有两名女生的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知向量 =(4,3),
=(2,﹣1),O为坐标原点,P是直线AB上一点.
(1)若点P是线段AB的中点,求向量 与向量
夹角θ的余弦值;
(2)若点P在线段AB的延长线上,且| |=
|
|,求点P的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,PA= ,AB=1.AD=2.∠BAD=120°,E,F,G,H分别是BC,PB,PC,AD的中点.
(Ⅰ)求证:PH∥平面GED;
(Ⅱ)过点F作平面α,使ED∥平面α,当平面α⊥平面EDG时,设PA与平面α交于点Q,求PQ的长.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知f(x)= x3﹣2ax2﹣3x(a∈R). (Ⅰ)若f(x)在区间(﹣1,1)内为减函数,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)对于实数a的不同取值,试讨论y=f(x)在(﹣1,1)内的极值点的个数.
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