Question

【题目】设， ， ， ， 是5个正实数（可以相等）．

证明：一定存在4个互不相同的下标， ， ， ，使得．

Answer 1

【答案】证明见解析.

【解析】试题分析：可设，则， ， ， ， 都属于区间，由抽屉原理知，区间或中一定有一个区间至少包含其中的3个数，5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同． 、对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求．因此，结论成立．

试题解析：不妨设，考虑以下5个分数： ， ， ， ， ，①

它们都属于区间．

把区间分成两个区间： 和，由抽屉原理知，区间或中一定有一个区间至少包含①中的3个数（记这3个数依次为， ， ）．

将①中的5个数依次围成一个圆圈，则①中任意三个数中都有两个数是相邻的（与是相邻的），即， ， 中至少有两个数是相邻的．假设与相邻，则．

另一方面，由①中5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同．

于是， 、对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求．因此，结论成立．