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如图,四棱锥中,底面是菱形,的中点,点在侧棱上.

(1)求证:⊥平面
(2)若的中点,求证://平面
(3)若,试求的值.
(1)详见解析(2)详见解析(3)

试题分析:(1)由线面垂直判定定理,要证线面垂直,需证垂直平面内两条相交直线,由的中点,易得垂直于,再由底面是菱形,得三角形为正三角形,所以垂直于,(2)由线面平行判定定理,要证线面平行,需证平行于平面内一条直线,根据的中点,联想到取AC中点O所以OQ为△PAC中位线.所以OQ // PA注意在写定理条件时,不能省,要全面.例如,线面垂直判定定理中有五个条件,线线垂直两个,相交一个,线在面内两个;线面平行判定定理中有三个条件,平行一个,线在面内一个,线在面外一个,(3)研究体积问题关键在于确定高,由于两个底面共面,所以求的值就转化为求对应高的长度比.
试题解析:证明:(1)因为E是AD的中点,PA=PD,所以AD⊥PE.
因为底面ABCD是菱形,∠BAD=,所以AB=BD,又因为E是AD的中点,所以 AD⊥BE.
因为PE∩BE=E,所以AD⊥平面PBE.         4分
(2)连接AC交BD于点O,连结OQ.因为O是AC中点,
Q是PC的中点,所以OQ为△PAC中位线.所以OQ//PA.  7分
因为PA平面BDQ,OQ平面BDQ.所以PA//平面BDQ.        9分
(3)设四棱锥P-BCDE,Q-ABCD的高分别为,所以VP-BCDE=SBCDE,VQ-ABCD=SABCD.  10分
因为VP-BCDE=2VQ-ABCD,且底面积SBCDE=SABCD.  12分
所以,因为,所以.     14分
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