试题分析:(1)由线面垂直判定定理,要证线面垂直,需证
垂直平面
内两条相交直线,由
,
是
的中点,易得
垂直于
,再由底面
是菱形,
得三角形
为正三角形,所以
垂直于
,(2)由线面平行判定定理,要证线面平行,需证
平行于平面
内一条直线,根据
是
的中点,联想到取AC中点O所以OQ为△PAC中位线.所以OQ // PA注意在写定理条件时,不能省,要全面.例如,线面垂直判定定理中有五个条件,线线垂直两个,相交一个,线在面内两个;线面平行判定定理中有三个条件,平行一个,线在面内一个,线在面外一个,(3)研究体积问题关键在于确定高,由于两个底面共面,所以求
的值就转化为求对应高的长度比.
试题解析:证明:(1)因为E是AD的中点,PA=PD,所以AD⊥PE.
因为底面ABCD是菱形,∠BAD=
,所以AB=BD,又因为E是AD的中点,所以 AD⊥BE.
因为PE∩BE=E,所以AD⊥平面PBE. 4分
(2)连接AC交BD于点O,连结OQ.因为O是AC中点,
Q是PC的中点,所以OQ为△PAC中位线.所以OQ//PA. 7分
因为PA
平面BDQ,OQ
平面BDQ.所以PA//平面BDQ. 9分
(3)设四棱锥P-BCDE,Q-ABCD的高分别为
,
,所以V
P-BCDE=
S
BCDE,V
Q-ABCD=
S
ABCD. 10分
因为V
P-BCDE=2V
Q-ABCD,且底面积S
BCDE=
S
ABCD. 12分
所以
,因为
,所以
. 14分