Question

7．已知不等式x²-5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＜1}．
（1）求实数a，b的值；
（2）若0＜x＜2，$f（x）=\frac{a}{x}+\frac{b}{2-x}$，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据根与系数的关系，列出方程组，求出a，b的值；
（2）把函数$f（x）=\frac{1}{x}+\frac{4}{2-x}$变形，利用基本不等式求出f（x）在0＜x＜2上的最小值．

解答 解：（1）由题意可得$\left\{{\begin{array}{l}{4+1=5a}\\{4×1=b}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=4}\end{array}}\right.$，
∴实数a，b的值分别为1，4；---------（4分）
（2）由（1）知$f（x）=\frac{1}{x}+\frac{4}{2-x}$，
∵0＜x＜2，
∴0＜2-x＜2，
∴$\frac{1}{x}＞0，\frac{4}{2-x}＞0$，--------（6分）
∴$f（x）=\frac{1}{x}+\frac{4}{2-x}=（\frac{1}{x}+\frac{4}{2-x}）（\frac{x}{2}+\frac{2-x}{2}）$
=$\frac{5}{2}+\frac{2x}{2-x}+\frac{2-x}{2x}≥\frac{5}{2}+2\sqrt{\frac{2x}{2-x}•\frac{2-x}{2x}}=\frac{9}{2}$；---------（10分）
当且仅当$\frac{2x}{2-x}=\frac{2-x}{2x}$即$x=\frac{2}{3}$时，等号成立．
∴f（x）的最小值为$\frac{9}{2}$．-----------------------（12分）

点评 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是基础题目．