Question

6．直线l经过点P（5，5），其斜率为k，直线l与圆x²+y²=25相交，交点分别为A，B．
（1）若AB=4$\sqrt{5}$，求k的值；
（2）若AB＜2$\sqrt{7}$，求k的取值范围；
（3）若OA⊥OB（O为坐标原点），求k的值．

Answer 1

分析 （1）分情况讨论斜率是否存在，直接利用点到直线的距离公式即可求出k值；
（2）利用点到直线距离关系判断圆与直线的位置关系，列出不等式即可；
（3）因为OA⊥OB，OA=OB，故△OAB是等腰直角三角形，再次利用点到直线的距离即可求出k值；

解答 解：当直线l斜率不存在时，直线方程为x=5，此时直线l与圆x²+y²=25相切，不合题意．
设直线l的方程为y-5=k（x-5），即kx-y+5-5k=0，
由题得：$\frac{{|{5-5k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{{5^2}-{{（2\sqrt{5}）}^2}}$，化简得：2k²-5k+2=0，解得$k=\frac{1}{2}$或k=2．
（2）由$AB＜2\sqrt{7}$得$2\sqrt{{5^2}-{d^2}}＜2\sqrt{7}$，得d²＞18，
即${（{\frac{{|{5-5k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}}）^2}＞18$，解得$k＜\frac{1}{7}$或k＞7．
又因为直线l与圆x²+y²=25交与两点，所以d＜5，
即$\frac{{|{5-5k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}＜5$，解得k＞0
所以k的取值范围为$0＜k＜\frac{1}{7}$或k＞7．
（3）∵OA⊥OB，OA=OB，∴△OAB是等腰直角三角形．
∴O到直线l的距离$d=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$，即$\frac{{|{5-5k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$，
解得$k=2±\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式以及直线斜率等知识点，属中等题．