Question

10．求函数y=-cos²x+sinx，（|x|≤$\frac{π}{4}$）的最大值和最小值以及使该函数取得最值时的x的集合．

Answer 1

分析 利用三角函数的平方关系式，化简函数的表达式，结合x的范围，求出sinx的范围，然后求出函数的最值．

解答 解：函数f（x）=-cos²x+sinx=-1+sin²x+sinx=（sinx+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，
因为|x|≤$\frac{π}{4}$，所以sinx∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
当sinx=-$\frac{1}{2}$即x=-$\frac{π}{6}$时，函数取得最小值-$\frac{5}{4}$，该函数取得最小值时的x的集合{-$\frac{π}{6}$}．
当sinx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即x=$\frac{π}{4}$时，函数取得最大值$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．该函数取得最大值时的x的集合{$\frac{π}{4}$}．

点评 本题是中档题，考查三角函数的化简求值，考查计算能力转化思想，常考题型．