Question

2．已知线段AB，CD分别在两条异面直线上，M，N分别是线段AB，CD的中点，求证：MN＜$\frac{1}{2}$（AC+BD）

Answer 1

分析 四边形ABCD是空间四边形，而不是平面四边形，要想求MN与AC，BD的关系，必须将它们转化到平面来考虑．

解答 证明：如图所示，取BC中点H，连结MH，NH，MN，
∵M、N分别为AB、CD的中点，
∴MH=$\frac{1}{2}$AC，NH=$\frac{1}{2}$BD，
∵在△HMN中，MH+NH＞MN，
∴MN＜$\frac{1}{2}$（AC+BD）

点评 本题考查三角形中三边关系的应用，是中档题，解题时要注意三角形中位线定理的合理运用．