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    【题目】三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示.设， 分别为线段， 的中点， 为线段上的点，且.

    （1）证明： 为线段的中点；

    （2）求二面角的余弦值.

    【答案】（1）证明详见解析；（2）.

    【解析】试题分析：根据侧视图和俯视图可知， 为正三角形，顶点D在底面内的射影为BD的中点O，所以两两互相垂直，故可以为坐标轴建立坐标系如图所示.（1），为了证明点P是BC的中点，只需利用向量证明即可.（2）利用向量求出平面PMN和平面ABC的法向量，求出法向量的夹角即可得二面角的余弦值.

    试题解答：取BD的中点O，建坐标系如图所示，则， ，设（1）证明：设，则， .因为 ，所以点P是BC的中点.

    （2）易平面PMN的法向量为.，设平面ABC的法向量为，则 ，所以.

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    （2）设的长为dm，则当为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？

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