Question

【题目】已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0，

（1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；

（2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.

（3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当取最小值时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在；直线方程为3x＋4y－12＝0（3）3x＋3y－10＝0

【解析】

（1）将题目所给直线方程重新整理，由此证得直线恒过定点，并求得定点坐标.

（2）设出直线方程截距式，根据题目所给条件，求出直线方程.

（3）设出直线的倾斜角，求得的表达式并结合三角函数的知识求得最小值，以及此时的直线方程.

（1）依题意直线方程为，

即，

即，

所以由，解得，故直线过定点.

（2）依题意设直线方程为，将代入得①.

则，则，解得或.

其中不满足①，满足①.

所以存在直线，即满足条件.

（3）由（1）知直线过定点，而若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，所以直线的倾斜角，

所以，

所以②，

令，

由于，所以，所以，

所以.

则②可化为，由于在上为减函数，所以在上为增函数，故当，即时，取得最小值为.此时直线方程为，即，

也即.