【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若存在两个极值点
,
,且
,证明:
.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)先求函数的定义域,求导后对分成
三类,讨论函数的单调区间.(2)由(1)知当且仅当
时,
存在两个极值点,同时用韦达定理写出这两个极值点的关系.化简
,并利用导数求得上式表达式的单调区间以及最值,由此证得不等式成立.
(1)解:的定义域为
,
.
①当时,
对
恒成立,则
在
上单调递增;
②当时,令
,得
,
.
(ⅰ)当时,
,
当时,
;当
时,
.
所以在
,
上单调递增,
在上单调递减.
(ⅱ)当时,
,
当时,
;当
时,
.
所以在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)证明:由(1)知当且仅当时,
存在两个极值点.
因为的两个极值点
,
满足
,所以
,
又,则
.
,
令,
,则
.
因为,所以
,
,即
,所以
在
上单调递减.
因为,所以
,
从而.
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【题目】已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0,
(1)求证:直线恒过定点,并求出定点P的坐标;
(2)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在直线满足下列条件:①△AOB的周长为12;②△AOB的面积为6,若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.
(3)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当取最小值时,求直线的方程.
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【题目】某次考试后,对全班同学的数学成绩进行整理,得到表:
分数段 | ||||
人数 | 5 | 15 | 20 | 10 |
将以上数据绘制成频率分布直方图后,可估计出本次考试成绩的中位数是__________.
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【题目】已知标准方程下的椭圆的焦点在
轴上,且经过点
,它的一个焦点恰好与抛物线
的焦点重合.椭圆
的上顶点为
,过点
的直线交椭圆于
两点,连接
、
,记直线
的斜率分别为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求的值.
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【题目】已知函数,
(Ⅰ)当时,求函数
的单调递减区间;
(Ⅱ)若时,关于
的不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)若数列满足
,
,记
的前
项和为
,求证:
.
【答案】(I);(II)
;(III)证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(Ⅱ)当
时,因为
,所以
显然不成立,先证明因此
时,
在
上恒成立,再证明当
时不满足题意,从而可得结果;(III)先求出等差数列的前
项和为
,结合(II)可得
,各式相加即可得结论.
试题解析:(Ⅰ)由,得
.所以
令,解得
或
(舍去),所以函数
的单调递减区间为
.
(Ⅱ)由得,
当时,因为
,所以
显然不成立,因此
.
令,则
,令
,得
.
当时,
,
,∴
,所以
,即有
.
因此时,
在
上恒成立.
②当时,
,
在
上为减函数,在
上为增函数,
∴,不满足题意.
综上,不等式在
上恒成立时,实数
的取值范围是
.
(III)证明:由知数列
是
的等差数列,所以
所以
由(Ⅱ)得, 在
上恒成立.
所以. 将以上各式左右两边分别相加,得
.因为
所以
所以.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】已知直线, (
为参数,
为倾斜角).以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的直角坐标方程为
.
(Ⅰ)将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)设点的直角坐标为
,直线
与曲线
的交点为
、
,求
的取值范围.
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【题目】对任意实数a,b,c,给出下列命题:
①“”是“
”的充要条件
②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件;
③“”是“
”的充分不必要条件
④“”是“
”的必要不充分条件,
其中真命题的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】已知函数f(x)=ln (x+1)- -x,a∈R.
(1)当a>0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若存在x>0,使f(x)+x+1<- (a∈Z)成立,求a的最小值.
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【题目】我们国家正处于老龄化社会中,老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万,其中老人(年龄60岁及以上)人数约有66万,为了了解老人们的健康状况,政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估,健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级,并以80岁为界限分成两个群体进行统计,样本分布被制作成如下图表:
(1)若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况,则两个群体中各应抽取多少人?
(2)估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比;
(3)据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入,政府计划为这部分老人每月发放生活补贴,标准如下:
①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元;
②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元;
③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元.
利用样本估计总体,试估计政府执行此计划的年度预算.(单位:亿元,结果保留两位小数)
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