【题目】已知函数,
(Ⅰ)当时,求函数
的单调递减区间;
(Ⅱ)若时,关于
的不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)若数列满足
,
,记
的前
项和为
,求证:
.
【答案】(I);(II)
;(III)证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(Ⅱ)当
时,因为
,所以
显然不成立,先证明因此
时,
在
上恒成立,再证明当
时不满足题意,从而可得结果;(III)先求出等差数列的前
项和为
,结合(II)可得
,各式相加即可得结论.
试题解析:(Ⅰ)由,得
.所以
令,解得
或
(舍去),所以函数
的单调递减区间为
.
(Ⅱ)由得,
当时,因为
,所以
显然不成立,因此
.
令,则
,令
,得
.
当时,
,
,∴
,所以
,即有
.
因此时,
在
上恒成立.
②当时,
,
在
上为减函数,在
上为增函数,
∴,不满足题意.
综上,不等式在
上恒成立时,实数
的取值范围是
.
(III)证明:由知数列
是
的等差数列,所以
所以
由(Ⅱ)得, 在
上恒成立.
所以. 将以上各式左右两边分别相加,得
.因为
所以
所以.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】已知直线, (
为参数,
为倾斜角).以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的直角坐标方程为
.
(Ⅰ)将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)设点的直角坐标为
,直线
与曲线
的交点为
、
,求
的取值范围.
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【题目】四棱锥中,底面
是边长为
的菱形,侧面
底面
,
,
,
是
中点,点
在侧棱
上.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若是
中点,求二面角
的余弦值;
(Ⅲ)是否存在,使
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是边长为4的菱形,∠BAD=60°,SA=SD=2,点E是棱AD的中点,点F在棱SC上,且
λ,SA//平面BEF.
(1)求实数λ的值;
(2)求三棱锥F﹣EBC的体积.
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【题目】“我将来要当一名麦田里的守望者,有那么一群孩子在一块麦田里玩,几千万的小孩子,附近没有一个大人,我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者,如图所示,为了分割麦田,他将
连接,设
中边
所对的角为
,
中边
所对的角为
,经测量已知
,
.
(1)霍尔顿发现无论多长,
为一个定值,请你验证霍尔顿的结论,并求出这个定值;
(2)霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关,记与
的面积分别为
和
,为了更好地规划麦田,请你帮助霍尔顿求出
的最大值.
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【题目】某校组织了一次新高考质量测评,在成绩统计分析中,某班的数学成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:
(1)求该班数学成绩在的频率及全班人数;
(2)根据频率分布直方图估计该班这次测评的数学平均分;
(3)若规定90分及其以上为优秀,现从该班分数在80分及其以上的试卷中任取2份分析学生得分情况,求在抽取的2份试卷中至少有1份优秀的概率.
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【题目】如图,曲线由左半椭圆
和圆
在
轴右侧的部分连接而成,
,
是
与
的公共点,点
,
(均异于点
,
)分别是
,
上的动点.
(Ⅰ)若的最大值为
,求半椭圆
的方程;
(Ⅱ)若直线过点
,且
,
,求半椭圆
的离心率.
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【题目】如图,在四棱锥中,侧面
底面ABCD,侧棱
,
,底面ABCD为直角梯形,其中
,
,
,O为AD中点.
求直线PB与平面POC所成角的余弦值.
求B点到平面PCD的距离.
线段PD上是否存在一点Q,使得二面角
的余弦值为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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