Question

【题目】如图，在三棱柱中，平面，，，以，为邻边作平行四边形，连接，，若二面角为45°.

（1）求证：平面⊥平面；

（2）求直线与平面所成角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）由已知二面角得出的边上的高与相等，从而得，再由已知线面垂直得线线垂直，从而可证得线面垂直，最后可得面面垂直；

（2）以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角的正弦，然后可得正切．

（1）取中点，连接，∵平行四边形中，∴，，

∴，又平面，平面，∴，

，∴平面，而平面，

∴，∴是二面角的平面角，∴＝45°。

∴，∴，

又由平面，得，，∴平面，而，∴平面，又∵平面，

∴平面⊥平面；

（2）由（1），以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，

，由（1）是平面的一个法向量，

设直线与平面所成角为，

则，

，所以．