【题目】如图,在四棱锥中,侧面
底面ABCD,侧棱
,
,底面ABCD为直角梯形,其中
,
,
,O为AD中点.
求直线PB与平面POC所成角的余弦值.
求B点到平面PCD的距离.
线段PD上是否存在一点Q,使得二面角
的余弦值为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)
(3)存在,
【解析】
试题(1)易得平面
,所以
即为所求.(2)由于
,从而
平面
,所以可转化为求点
到平面
.(3)假设存在,过Q作
,垂足为
,过
作
,垂足为M,则
即为二面角
的平面角.设
,利用
求出
,若
,则存在,否则就不存在.
试题解析:(1) 在△PAD中PA="PD," O为AD中点,所以PO⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD, 平面平面ABCD="AD,"
平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD.
又在直角梯形
中,易得
;
所以以
为坐标原点
,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标系.
则,
,
,
;
, 易证
:
,
所以平面
的法向量,
所以与平面
所成角的余弦值为
(2),设平面PDC的法向量为
,
则,取
得
点到平面
的距离
(3)假设存在,且设.
因为
所以,
设平面CAQ的法向量中,则
取,得
.
平面CAD的一个法向量为,
因为二面角Q OC D的余弦值为,所以
.
整理化简得:或
(舍去),
所以存在,且
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,
(Ⅰ)当时,求函数
的单调递减区间;
(Ⅱ)若时,关于
的不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)若数列满足
,
,记
的前
项和为
,求证:
.
【答案】(I);(II)
;(III)证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(Ⅱ)当
时,因为
,所以
显然不成立,先证明因此
时,
在
上恒成立,再证明当
时不满足题意,从而可得结果;(III)先求出等差数列的前
项和为
,结合(II)可得
,各式相加即可得结论.
试题解析:(Ⅰ)由,得
.所以
令,解得
或
(舍去),所以函数
的单调递减区间为
.
(Ⅱ)由得,
当时,因为
,所以
显然不成立,因此
.
令,则
,令
,得
.
当时,
,
,∴
,所以
,即有
.
因此时,
在
上恒成立.
②当时,
,
在
上为减函数,在
上为增函数,
∴,不满足题意.
综上,不等式在
上恒成立时,实数
的取值范围是
.
(III)证明:由知数列
是
的等差数列,所以
所以
由(Ⅱ)得, 在
上恒成立.
所以. 将以上各式左右两边分别相加,得
.因为
所以
所以.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】已知直线, (
为参数,
为倾斜角).以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的直角坐标方程为
.
(Ⅰ)将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)设点的直角坐标为
,直线
与曲线
的交点为
、
,求
的取值范围.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),直线
的参数方程为
(
为参数).
(1)求和
的直角坐标方程;
(2)若曲线截直线
所得线段的中点坐标为
,求
的斜率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,在边长为8的正三角形ABC中,E,F依次是AB,AC的中点,,D,H,G为垂足,若将
绕AD旋转
,求阴影部分形成的几何体的表面积与体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】我们国家正处于老龄化社会中,老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万,其中老人(年龄60岁及以上)人数约有66万,为了了解老人们的健康状况,政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估,健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级,并以80岁为界限分成两个群体进行统计,样本分布被制作成如下图表:
(1)若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况,则两个群体中各应抽取多少人?
(2)估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比;
(3)据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入,政府计划为这部分老人每月发放生活补贴,标准如下:
①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元;
②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元;
③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元.
利用样本估计总体,试估计政府执行此计划的年度预算.(单位:亿元,结果保留两位小数)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列关于向量的描述正确的是( )
A.若向量,
都是单位向量,则
B.若向量,
都是单位向量,则
C.任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量
D.平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设,
分别为双曲线
的左、右焦点,
为双曲线的左顶点,以
,
为直径的圆交双曲线某条渐近线于
,
两点,且满足
,则该双曲线的离心率为________.
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