Question

【题目】已知函数 .

（1）当时,求曲线在点处的切线方程;

（2）讨论函数的单调区间;

（3）求证：若函数在处取得极值,则对恒成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时, 单调减区间,无增区间；当时, 单调增区间,单调减区间；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）求出,,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（3）由，计算得出,取经检验满足条件， ,则,令利用导数求出的最小值即可得结果.

试题解析：（1）因为,当时, ,

当, ,

所以曲线在点处的切线方程.

（2）因为在, ,

当时, 在上单调递减.

当时, .

当时, , 单调递减;

当时, , 单调递增;

综上所述,当时, 单调减区间,无增区间.

当时, 单调增区间,单调减区间.

（3）因为函数在处取得极值,所以

计算得出,取经检验满足条件.

由已知,则,

令

易得在区间上递减,在区间上递增,

所以即,

所以若函数在处取得极值,对恒成立.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.