Question

已知函数f（x）=alnx-x-

x2

2

，a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ） 证明：（x-1）（e^-x-x）+2lnx＜

2

3

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导，再根据导数为正函数增，导数为负函数减；
（2）构造函数g(x)=(x-1)e-x-

x2

2

+2x，x＞0，求其最大值，然后利用放缩法证明即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=

a

x

-1-x=

-(x2+x-a)

x

，
当a≤0，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）内单调递减；
当a＞0，x∈(0，

1+4a -1

2

)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
x∈(

1+4a -1

2

，+∞)时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．…（6分）
（Ⅱ）当a=2时，由（Ⅰ）可知f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减，fmax(x)=f(1)=-

3

2

，即 2lnx-x-

x2

2

≤-

3

2

；
令g(x)=(x-1)e-x-

x2

2

+2x，x＞0，
g'（x）=（2-x）（e^-x+1），
易知gmax(x)=g(2)=

1

e2

+2，
所以(x-1)(e-x-x)+2lnx＜(x-1)(e-x-x)+

x2

2

+x-

3

2

=(x-1)e-x-

x2

2

+2x-

3

2

≤

1

e2

+2-

3

2

＜

2

3

．…（12分）

点评：本题主要考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调性、求最值，常常与不等式联系在一起，较综合，一般比较难．