Question

如图，已知OPQ是半径为

3

，圆心角为

π

3

的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=x，矩形ABCD的面积为f（x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出其定义域；
（Ⅱ）求函数y=f（x）+f（x+

π

4

）的最大值及相应的x值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）先把矩形的各个边长用角x表示出来，进而表示出矩形的面积；
（2）先将函数y=f（x）+f（x+

π

4

）的解析式化为正弦型函数，进而根据正弦型函数的图象和性质得到答案．

解答： 解：（1）在Rt△OBC中，OB=OC•cosx=

3

cosx，BC=OC•sinx=

3

sinx，
在Rt△OAD中，

DA

OA

=tan60°=

3

，
∴OA=

3

3

BC=sinx，
∵AB=OB-OA=

3

cosx-sinx，
∴f（x）=S=AB•BC=（

3

cosx-sinx）•

3

sinx
=3sinx•cosx-

3

sin²x
=

3

2

sin2x-

3

2

（1-cos2x）
=

3

sin（2x+

π

6

）-

3

2

，x∈（0，

π

3

）…（6分）
（Ⅱ）由x∈（0，

π

3

），x+

π

4

∈（0，

π

3

），得x∈（0，

π

12

）
而y=f（x）+f（x+

π

4

）=

3

sin（2x+

π

6

）-

3

2

+

3

sin[2（x+

π

4

）+

π

6

]-

3

2

=

3

[sin（2x+

π

6

）+cos（2x+

π

6

）]-

3

=

6

sin（2x+

5π

12

）-

3

，
由2x+

5π

12

∈（

5π

12

，

7π

12

），
故当2x+

5π

12

=

π

2

，即x=

π

24

时，y取最大值

6

-

3

…（12分）

点评：本题考查在实际问题中建立三角函数模型，解题关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简，属于中档题．