Question

15．已知（x-1）⁹=a₁x⁹+a₂x⁸+a₃x⁷+…+a₉x+a₁₀．
（Ⅰ）求a₁和a₄的值；
（Ⅱ）求式子a₂+a₄+…+a₁₀的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在二项展开式的通项公式中，令k分别等于0和3，即可求得a₁和a₄的值．
（Ⅱ）在所给的等式中，分别令x=1，x=-1，可得2个式子，再根据这2个式子求得a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀的值．

解答 解：（Ⅰ）由二项式定理，得（x-1）⁹的展开式的通项是${T_{k+1}}={（-1）^k}C_9^k{x^{9-k}}$，
令k=0，3，得${T_1}=C_9^0{x^9}={x^9}$，${T_4}={（-1）^3}C_9^3{x^6}=-84{x^6}$．
∵${（x-1）^9}={a_1}{x^9}+{a_2}{x^8}+{a_3}{x^7}+…+{a_9}x+{a_{10}}$，
∴a₁=1，a₄=-84．
（Ⅱ）∵${（x-1）^9}={a_1}{x^9}+{a_2}{x^8}+{a_3}{x^7}+…+{a_9}x+{a_{10}}$，
∴令x=1，得（1-1）⁹=a₁+a₂+a₃+…+a₉+a₁₀．
令x=-1，得（-1-1）⁹=-a₁+a₂-a₃+…-a₉+a₁₀．
∴（1-1）⁰+（-1-1）⁹=2a₂+2a₄+…+2a₁₀．
∴a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀=-256．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．