Question

5．已知关于x的一元二次不等式x²+2mx+m+2≥0的解集为R．
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（m）=m+$\frac{3}{m+2}$的最小值；
（Ⅲ）解关于x的一元二次不等式x²+（m-3）x-3m＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）不等式恒成立，需△≤0，解出即可，
（Ⅱ）求出m+2的范围，利用基本不等式即可求出最小值，
（Ⅲ）x²+（m-3）x-3m＞0．可化为（x+m）（x-3）＞0，比价-m和3的大小，即可得到不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）∵x²+2mx+m+2≥0的解集为R，
∴△=4m²-4（m+2）≤0，
解得：-1≤m≤2．
∴实数m的取值范围：[-1，2]．
（Ⅱ）∵2-2$\sqrt{3}$≤m≤2+2$\sqrt{3}$．
∴0＜4-2$\sqrt{3}$≤m+2≤4+2$\sqrt{3}$．
∴f（m）=m+$\frac{3}{m+2}$=m+2+$\frac{3}{m+2}$-2≥2$\sqrt{（m+2）\frac{3}{（m+2）}}$-2=2$\sqrt{3}$-2，当且仅当m=$\sqrt{3}$-2时取等号，
∴函数f（m）=m+$\frac{3}{m+2}$的最小值为2$\sqrt{3}$-2，
（Ⅲ）x²+（m-3）x-3m＞0．可化为（x+m）（x-3）＞0，
∵2-2$\sqrt{3}$≤m≤2+2$\sqrt{3}$．
∴-2-2$\sqrt{3}$≤-m≤-2+2$\sqrt{3}$＜3．
∴不等式的解集为（-∞，-m）∪（3，+∞）．

点评 本题考查了一元二次不等式恒成立的问题以及解法和基本不等式的应用，属于中档题．