Question

14．现有3本不同的数学书，4本不同的物理书，2本不同的化学书．
（Ⅰ）若全部排在书架的同一层且不使同类的书分开，一共有多少种排法？
（Ⅱ）若从中任取5本书，求：
①恰有2本数学书，2本无理数，1本化学书，有多少种不同的取法？
②至少有1本数学书，有多少种不同的取法？

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，用捆绑法分析：先把3本不同的数学书“捆绑”在一起看成一本书，4本不同的物理书“捆绑”在一起看成一本书，2本不同的化学书“捆绑”在一起看成一本书，再分析3个元素之间的排法数目，由根据分步计数原理计算可得答案；
（Ⅱ）①根据题意，线分别计算“抽取2本数学书”、“抽取2本物理书”、“抽取1本化学书”的取法数目，再根据分步计数原理计算可得答案；
②根据题意，用排除法分析：先计算“在9本书中任取5本”的取法数目，再计算“没有数学书”的取法数目，由间接法计算可得答案．

解答 解：（Ⅰ）把3本不同的数学书“捆绑”在一起看成一本书，3本不同的数学书有A₃³种排法，
4本不同的物理书“捆绑”在一起看成一本书，4本不同的物理书有A₄⁴种排法，
2本不同的化学书“捆绑”在一起看成一本书，2本不同的化学书有A₂²种排法；
3个元素之间有A₃³种排法，
再根据分步计数原理，共有A₃³A₄⁴A₂²A₃³=1728种不同的排法．
（Ⅱ）①抽取2本数学书有C₃²=3种方法，
抽取2本物理书有C₄²=6种方法，
抽取1本化学书有C₂¹=2种方法，
再根据分步计数原理，共有3×6×2=36种不同的取法，
②先不考虑书的不同，在9本书中任取5本，有C₉⁵种取法，
其中没有数学书，即在其他6本数中任取5本的取法有C₆⁵种，
间接法，共有C₉⁵-C₆⁵=120种取法．

点评 本题考查排列、组合的应用，涉及分类、分步计数原理的运用，解题时注意常见问题的处理方法，如用捆绑法处理必须相邻问题．