Question

7．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+alnx
（1）若a=-1，求函数f（x）的极值，并指出极大值还是极小值；
（2）若a=1，求函数f（x）在[1，e]上的最值．

Answer 1

分析 （1）代入a值，求出导函数，利用导函数求出极值；
（2）代入a值，求出导函数，判断函数在区间上的单调性，利用单调性求出函数的最值．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx，
f'（x）=$\frac{（x+1）（x-1）}{x}$
当x∈（0，1）时f'（x）＜0，f（x）递减；
当x∈（1，+∞）时f'（x）＞0，f（x）递增；
∴f（x）的极小值是f（1）=$\frac{1}{2}$，无极大值．
（2）f（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx，
f'（x）=x$+\frac{1}{x}$＞0，
∴f（x）在[1，e]上递增，
∴函数的最大值f（e）=$\frac{1}{2}$e²+1，最小值f（1）=$\frac{1}{2}$．

点评 考查了导函数的应用，和极值的概念，属于基础题型，应熟练掌握．